Halaman
Matematika15Latihan 1.1Gunakan Definisi 1.1 untuk menentukan nilai mutlak berikut. a. Tentukan |x + 2| untuk x bilangan real.b. Tentukan |x – 3|untuk x bilangan real.c. Tentukan |2 x + 3| untuk x bilangan real.d. Tentukan |–2 x + 5| untuk x bilangan real.e. Tentukan −1223x untuk x bilangan real.1.2 Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Pada sub-bab ini, kita akan mengkaji bentuk persamaan nilai mutlak linear satu variabel dan strategi menyelesaikannya. Untuk memulainya, mari kita cermati pembahasan masalah berikut ini.Masalah 1.1Tentukan nilai x (jika ada) yang memenuhi setiap persamaan berikut ini.1. |2x – 1| = 7 4. –5|3x – 7| + 4 = 14 2. |x + 5| = –6 5. |2x – 1| = |x + 3| 3. |(4x –8)| = 0 Alternatif PenyelesaianPertama, kita akan mengubah bentuk |2x – 1| seperti pada Latihan 1.1.1. −≥−−−121jika221=1(21)jika<2xxxxxAkibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu sebagai berikut. Untuk x≥12, 2x – 1 = 7, 2x = 7 + 1, 2x = 8 atau x = 4
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK16 Untuk x < 12, (2x – 1) = 7, –2x + 1 = 7, –2x = 7 – 1, –2x = 6 atau x = –3Jadi, nilai x = 4 atau x = –3 memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7. 2. Tidak ada x∈R yang memenuhi persamaan |x + 5| = –6, mengapa?3. Persamaan |(4x – 8)| = 0 berlaku untuk 4x – 8 = 0 atau 4x = 8. Jadi, x = 2 memenuhi persamaan |4x – 8| = 0.4. Persamaan –5|3x – 7| + 4 = 14 ⇔ |3x – 7| = –2 . Bentuk |3x – 7| = –2 bukan suatu persamaan, karena tidak ada x bilangan real, sehingga |3x – 7| = –2.5. Ubah bentuk |2x – 1| dan |x + 3| dengan menggunakan Definisi 1.1, sehingga diperoleh:−≥−−121jika221=1 2 +1jika<2xxxxx1.1≥−−−−+ 3jika3+3 =3jika< 3xxxxx1.2Berdasarkan sifat persamaan, bentuk |2x – 1| = |x + 3|, dapat dinyatakan menjadi |2x –1| – |x + 3| = 0. Artinya, sesuai dengan konsep dasar “mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat x sama. Sekarang, kita harus memikirkan strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.–30|2x –1| = –2x + 1|x +3| = –x – 3|x +3| = x + 3|2x –1| = 2x – 13∈≥1:2x RxGambar 1.4 Nilai |2x – 1| dan |x + 3| sesuai dengan Definisi 1.1
Matematika17Oleh karena itu, bentuk (1.1) dan (1.2) dapat disederhanakan menjadi:−≥−−121jika221=1 2 +1jika<2xxxxx = −≥−−≤−−121jika212 +1jika3<22 +1jika< 3xxxxxx1.3≥−−−−+ 3jika3+3 =3jika< 3xxxxx = ≥−≤−−−1+ 3jika21+ 3jika3<23jika< 3xxxxxx1.4Akibatnya, untuk menyelesaikan persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0, kita fokus pada tiga kemungkinan syarat x, yaitu ≥12x atau –3≤1-3<2x atau x < –3.➢ Kemungkinan 1, untuk ≥12x.Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi (2x – 1) – (x + 3) = 0 atau x = 4.Karena x≥12, maka x = 4 memenuhi persamaan.➢ Kemungkinan 2, untuk –3 ≤1-3<2xPersamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi –2x + 1 – (x + 3) = 0 atau x = –23.Karena –3 ≤x <12 maka x = –23 memenuhi persamaan.➢ Kemungkinan 3, x < –3 Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0 menjadi –2x + 1 – (–x – 3) = 0 atau x = 4. Karena x < –3, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan.Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan |2x – 1| = |x + 3| adalah x = 4 ataux = –23.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK18Sifat 1.1Untuk setiap a, b, c, dan x bilangan real dengan a≠ 0.1. Jika |ax + b| = c dengan c≥ 0, maka salah satu sifat berikut ini berlaku.i. |ax + b| = c, untuk x≥ –baii. –(ax + b) = c, untuk x < –ba2. Jika |ax + b| = c dengan c < 0, maka tidak ada bilangan real x yang memenuhi persamaan |ax + b| = c.Latihan 1.2Manfaatkan Sifat 1.1 untuk mengubah bentuk nilai mutlak berikut.a. |x – 1| b. |2x – 6| c. |2x – 6| + |x – 1| d. |2x – 6| – |x – 1| Masalah 1.2Sumber: https://id.wikipedia.org/wiki/BerkasGambar 1.5 SungaiPerhatikan Gambar 1.5 di sungai ini. Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di musim hujan dan cepat kering di musim kemarau. Diketahui debit air sungai tersebut adalah p liter/detik pada cuaca normal dan mengalami perubahan debit sebesar q liter/detik di cuaca tidak normal.Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan maksimum debit air sungai tersebut.
Matematika19Alternatif PenyelesaianNilai mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan perubahan q liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan|x – p| = q, x adalah debit air sungai.Dengan Definisi 1.1, maka −≥−−jika=+jika<xpx pxpxpx p 1.5Akibatnya, |x – p| = q berubah menjadia) Untuk x≥p, x – p = q atau x = p + qHal ini berarti peningkatan maksimum debit air sungai adalah (p + q)b) Untuk x < p, –x + p = q atau x = p – qHal ini berarti penurunan minimum debit air adalah (p – q)Dengan pemahaman yang telah dimiliki, maka kita dapat menggambar-kannya sebagai berikut.p – q......p – 2p – 1pp + 1p + 2p + qqqGambar 1.6 Nilai maksimum p + q dan nilai minimum p – qDari grafik di atas, dapat dinyatakan penurunan minimum debit air adalah (p – q) liter/detik dan peningkatan maksimum debit air adalah (p + q) liter/detik.Contoh 1.1Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan |x – 3| + |2x – 8| = 5.Alternatif PenyelesaianBerdasarkan Definisi 1.1 diperoleh−≥−−3jika33=+ 3jika< 3xxxxx1.6
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK20−≥−−28jika428=2 + 8jika< 4xxxxx1.7➢ Untuk x < 3, maka bentuk |x – 3| + |2x – 8| = 5 menjadi –x + 3 – 2x + 8 = 5 atau x = 2 Karena x < 3, maka nilai x = 2 memenuhi persamaan.➢ Untuk 3 ≤x < 4, maka |x – 3| + |2x – 8| = 5 menjadi x – 3 – 2x + 8 = 5 atau x = 0 Karena 3 ≤x < 4, maka tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan.➢ Untuk x≥ 4, maka |x – 3| + |2x – 8| = 5 menjadi x – 3 + 2x – 8 = 5 atau16=3x.Karena x≥ 4, maka 16=3x memenuhi persamaan. Jadi, penyelesaian |x – 3| + |2x – 8| = 5 adalah x = 2 atau 16=3x.Contoh 1.2Gambarlah grafik y = |x| untuk setiap x bilangan real. Alternatif PenyelesaianDengan menggunakan Definisi 1.1, berarti≥−, jika 0=, jika < 0xxxxxKita dapat menggambar dengan menggunakan beberapa titik bantu pada tabel berikut.Tabel 1.2 Koordinat titik yang memenuhi y = |x|, untuk x≥ 0 x...012345...y...012345...(x, y)...(0, 0)(1, 1)(2, 2)(3, 3)(4, 4)(5, 5)...
Matematika21Tabel 1.3 Koordinat titik yang memenuhi y = |x|, untuk x < 0x...–1–2–3–4–5...y...12345...(x, y)...(–1, 1)(–2, 2)(–3, 3)(–4, 4)(–5, 5)...Titik-titik yang kita peroleh pada tabel, kemudian disajikan dalam sistem koordinat kartesius sebagai berikut.01P(1, 1)A(–1, 1)Q(2, 2)B(–2, 2)R(3, 3)C(–3, 3)S(4, 4)D(–4, 4)T(5, 5)E(–5, 5)f(x) = |x|, x < 0f(x) = |x|, x≥ 02345y(+)–1–2–3–4–5–6–7x–1234567x+Gambar 1.7 Grafik y = |x|Latihan 1.3Gambarkan grafik bentuk nilai mutlak berikut dengan memanfaatkan Definisi 1.1.a. y = |x – 2| b. y = |x + 2| c. y = |2x – 1|